Browser (браузер, броузер) - программа для просмотра сайтов. С ее помощью вы "зашли" на этот сайт и читаете этот текст. Наиболее распространенные: Internet Explorer, Mozilla Firefox, Opera, Netscape Navigator и пр.
Кроссбраузерность (cross-browser) - одинаковое представления HTML в разных браузерах.
Подробнее см. ru.wikipedia.org/wiki/Browser